上述回答中检验统计量出现了三次，且各不相同。请问他们都是等价的么？化简推导过程能否给出来？

\section*{\texorpdfstring{\textbf{检验统计量的等价性及推导过程}}{检验统计量的等价性及推导过程}}\label{ux68c0ux9a8cux7edfux8ba1ux91cfux7684ux7b49ux4ef7ux6027ux53caux63a8ux5bfcux8fc7ux7a0b}

在之前的回答中，检验统计量 $T$ 出现了三种不同形式，但它们本质上是
\textbf{等价的}，只是表达方式不同。以下是详细推导过程，证明它们的等价性，并给出最简形式。

\subsection*{{1. 问题回顾}}\label{ux95eeux9898ux56deux987e}

\begin{itemize}
\item
  $H_0$：$x_i \sim \text{Poisson}(\lambda)$, $\lambda = \frac{1}{30}$
\item
  $H_1$：$x_i = s + n_i$, $n_i \sim \text{Poisson}(\lambda)$, $s = 0.01$
\item
  观测次数：$m = 1000$
\item
  检验统计量目标：计算 $\Lambda$ 并化简 $T = -2 \ln \Lambda$
\end{itemize}

\subsection*{{2. 似然比 $\Lambda$ 的表达式}}\label{ux4f3cux7136ux6bd4-lambda-ux7684ux8868ux8fbeux5f0f}

似然比定义为： 

$$
\Lambda = \frac{L(\mathbf{x} \mid H_0)}{L(\mathbf{x} \mid H_1)}
$$
 
其中： 

$H_0$ 下的似然函数： 
\[
  L(\mathbf{x} \mid H_0) = \prod_{i=1}^m \frac{\lambda^{x_i} e^{-\lambda}}{x_i!}
\]

$H_1$ 下的似然函数（注意 $x_i \geq s$）： 
\[
  L(\mathbf{x} \mid H_1) = \prod_{i=1}^m \frac{\lambda^{x_i - s} e^{-\lambda}}{(x_i - s)!}
\]

因此： 
\[
  \Lambda = \prod_{i=1}^m \frac{\lambda^{x_i} e^{-\lambda} / x_i!}{\lambda^{x_i - s} e^{-\lambda} / (x_i - s)!} = \prod_{i=1}^m \frac{\lambda^s (x_i - s)!}{x_i!}
\]

\subsection*{{3. 检验统计量 $T = -2 \ln \Lambda$ 的推导}}\label{ux68c0ux9a8cux7edfux8ba1ux91cf-t--2-ln-lambda-ux7684ux63a8ux5bfc}

取对数似然比： 
\[
  -2 \ln \Lambda = -2 \sum_{i=1}^m \left[ s \ln \lambda + \ln \left( \frac{(x_i - s)!}{x_i!} \right) \right]
\]

利用 \textbf{对数阶乘近似（Stirling 公式）}： 
\[
  \ln k! \approx k \ln k - k + \frac{1}{2} \ln (2 \pi k)
\]

因此：
\[
  \ln \left( \frac{(x_i - s)!}{x_i!} \right) \approx (x_i - s) \ln (x_i - s) - x_i \ln x_i + s - \frac{1}{2} \ln \left( \frac{x_i}{x_i - s} \right)
\]

由于 $s$ 很小（$s = 0.01$），可以近似： 
\[
  \ln \left( \frac{(x_i - s)!}{x_i!} \right) \approx -s \ln x_i - \frac{s}{2x_i} + O(s^2)
\] 

因此：
\[
  -2 \ln \Lambda \approx -2 \sum_{i=1}^m \left[ s \ln \lambda - s \ln x_i - \frac{s}{2x_i} \right] = 2s \sum_{i=1}^m \left( \ln x_i - \ln \lambda + \frac{1}{2x_i} \right)
\]

\subsection*{{4. 三种检验统计量的等价性}}\label{ux4e09ux79cdux68c0ux9a8cux7edfux8ba1ux91cfux7684ux7b49ux4ef7ux6027}

在之前的回答中，$T$ 出现了三种形式： 

1. \textbf{形式1（求和统计量）}： 

\[
   T = \sum_{i=1}^m x_i
\]

适用于 $s \ll \lambda$，此时 $\ln \Lambda$ 主要受
$\sum x_i$ 影响。 

高斯近似下，$T \sim \mathcal{N}(m \lambda, m \lambda)$（$H_0$）或
$\mathcal{N}(m (\lambda + s), m (\lambda + s))$（$H_1$）。

2. \textbf{形式 2（对数似然比精确形式）}：

\[
  T = -2 \ln \Lambda = 2s \sum_{i=1}^m \left( \ln x_i - \ln \lambda + \frac{1}{2x_i} \right)
\]

形式精确，但计算复杂。 当 $s \to 0$，可退化为形式 1。
  
3. \textbf{形式 3（泊松分布的正态近似）}：

\[
  T \approx \frac{\sum x_i - m \lambda}{\sqrt{m \lambda}} \sim \mathcal{N}(0, 1) 
\]

适用于大 $m$，便于计算 $P_{FA}$ 和 $P_D$。

\textbf{结论}： 

\textbf{形式 1} 是 \textbf{形式 2} 的线性近似（当
$s \ll \lambda$）。 

\textbf{形式 3} 是 \textbf{形式 1}
的正态标准化。

三者本质相同，只是化简程度不同。

\subsection*{{5. 最简推荐形式}}\label{ux6700ux7b80ux63a8ux8350ux5f62ux5f0f}

对于 \textbf{计算检测门限 $\eta$} 和 \textbf{检测概率
$P_D$}，推荐使用：

\[
  T = \sum_{i=1}^m x_i
\]

因为： 

1. 计算简单，且适用于高斯近似。 

2. 在 $H_0$ 下 $T \sim \text{Poisson}(m \lambda)$，在 $H_1$ 下
$T \sim \text{Poisson}(m (\lambda + s))$。 

3. 可直接用正态近似求 $P_{FA}$ 和 $P_D$。

\subsection*{{6. 最终答案}}\label{ux6700ux7ec8ux7b54ux6848}

\subsubsection*{{检验统计量推荐形式}}\label{ux68c0ux9a8cux7edfux8ba1ux91cfux63a8ux8350ux5f62ux5f0f}

\[
\boxed{T = \sum_{i=1}^m x_i}
\]

\textbf{$H_0$ 分布}：
$T \sim \text{Poisson}(33.33)$（近似 $\mathcal{N}(33.33, 5.77^2)$） 

\textbf{$H_1$分布}：
$T \sim \text{Poisson}(43.33)$（近似$\mathcal{N}(43.33, 6.58^2)$）

\subsubsection*{{检测门限 $\eta$ }}\label{ux68c0ux6d4bux95e8ux9650-eta}

\[
\eta = 60 \quad \text{（满足 } P_{FA} \approx 6.7 \times 10^{-7} \leq 10^{-6} \text{）}
\]

\subsubsection*{{检测概率 $P_D$ }}\label{ux68c0ux6d4bux6982ux7387-p_d}

\[
P_D \approx 0.57\% \quad \text{（高斯近似）}
\]

\subsection*{{7. 进一步优化}}\label{ux8fdbux4e00ux6b65ux4f18ux5316}

如果 $s$ 增大（如 $s = 0.1$）： -
$\mu_1 = 1000 \left( \frac{1}{30} + 0.1 \right) = 133.33$ -
$\sigma_1 = \sqrt{133.33} \approx 11.55$ -
$P_D = P(T \geq 60 \mid \mathcal{N}(133.33, 11.55^2)) \approx 1$

此时检测概率接近 100\%。

\section*{问题2}
我看不出来形式1是形式2的线性近似，请给出线性近似的推导过程.

\subsubsection*{{线性近似推导：从形式2（对数似然比）到形式1（求和统计量）}}\label{ux7ebfux6027ux8fd1ux4f3cux63a8ux5bfcux4eceux5f62ux5f0f2ux5bf9ux6570ux4f3cux7136ux6bd4ux5230ux5f62ux5f0f1ux6c42ux548cux7edfux8ba1ux91cf}

我们想要证明，当信号强度 $s$
很小（$s \ll \lambda$）时，对数似然比统计量（形式2）可以近似退化为简单的求和统计量
$T = \sum_{i=1}^m x_i$（形式1）。以下是详细的推导过程。

\subsubsection*{{1. 对数似然比的精确表达式（形式2）}}\label{ux5bf9ux6570ux4f3cux7136ux6bd4ux7684ux7cbeux786eux8868ux8fbeux5f0fux5f62ux5f0f2}

从之前的推导，对数似然比统计量为： \[
T_{\text{LLR}} = -2 \ln \Lambda = 2s \sum_{i=1}^m \left( \ln x_i - \ln \lambda + \frac{1}{2x_i} \right)
\]

\subsubsection*{{2. 对 $\ln x_i$ 进行泰勒展开}}\label{ux5bf9-ln-x_i-ux8fdbux884cux6cf0ux52d2ux5c55ux5f00}

由于 $s$ 很小，且 $x_i$ 在 $H_0$ 下围绕 $\lambda$
波动，我们可以对 $\ln x_i$ 在 $x_i = \lambda$ 处进行泰勒展开： \[
\ln x_i \approx \ln \lambda + \frac{x_i - \lambda}{\lambda} - \frac{(x_i - \lambda)^2}{2 \lambda^2} + \cdots
\] 保留一阶项： \[
\ln x_i - \ln \lambda \approx \frac{x_i - \lambda}{\lambda}
\]

\subsubsection*{{3. 忽略高阶小项}}\label{ux5ffdux7565ux9ad8ux9636ux5c0fux9879}


对于 $\frac{1}{2x_i}$，由于 $x_i \approx \lambda$，有
  $\frac{1}{2x_i} \approx \frac{1}{2\lambda}$。

但这一项与 $\frac{x_i - \lambda}{\lambda}$  相比是常数偏移，对检测性能影响较小（尤其在 $m$ 很大时）。

因此，对数似然比近似为： 
\[
  T_{\text{LLR}} \approx 2s \sum_{i=1}^m \left( \frac{x_i - \lambda}{\lambda} + \frac{1}{2\lambda} \right) = \frac{2s}{\lambda} \sum_{i=1}^m \left( x_i - \lambda + \frac{\lambda}{2} \right)
\]

\subsubsection*{{4. 化简为线性统计量}}\label{ux5316ux7b80ux4e3aux7ebfux6027ux7edfux8ba1ux91cf}

注意到：
\[
  \sum_{i=1}^m \left( x_i - \lambda + \frac{\lambda}{2} \right) = \sum_{i=1}^m x_i - m \lambda + \frac{m \lambda}{2}
\] 

因此：
\[
  T_{\text{LLR}} \approx \frac{2s}{\lambda} \left( \sum_{i=1}^m x_i - \frac{m \lambda}{2} \right)
\]

由于 $\frac{m \lambda}{2}$ 是常数，不影响检测性能（仅平移分布），而
$\frac{2s}{\lambda}$ 是正比例系数，因此 \textbf{$T_{\text{LLR}}$ 与
$\sum_{i=1}^m x_i$ 单调相关}。

这意味着，
用 $T_{\text{LLR}}$ 或 $\sum_{i=1}^m x_i$ 作为检验统计量，其检测性能（ROC曲线）完全相同。 
在实际应用中，可以直接使用更简单的 $\sum_{i=1}^m x_i$。

\subsubsection*{{5. 直观解释}}\label{ux76f4ux89c2ux89e3ux91ca}


\textbf{求和统计量 $\sum x_i$}：直接累加所有观测值，在 $H_0$ 和
  $H_1$ 下的均值分别为 $m \lambda$ 和 $m (\lambda + s)$。

\textbf{对数似然比统计量}：通过 $\ln x_i$ 非线性变换后加权求和，但
  \textbf{当 $s$ 很小时，非线性部分可线性近似}。

\subsubsection*{{6. 结论}}\label{ux7ed3ux8bba}

当 $s \ll \lambda$ 时： 
\[
  T_{\text{LLR}} \approx \text{常数} + \frac{2s}{\lambda} \sum_{i=1}^m x_i
\] 

因此，\textbf{求和统计量 $\sum x_i$ 是对数似然比的线性近似}，两者在检测问题中完全等价。

